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\documentclass{jsarticle}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\title{解析学 3年生冬休みの課題}
\author{JG1WWk}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{問題1 空白をうめよ.}

\section{問題2 加法定理を利用して次の値を求めよ}
\subsection{$\sin75^\circ $}
$\sin$関数の加法定理,
\begin{equation}
\sin(\alpha+\beta=)\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{equation}
より$\alpha+\beta=75$とおく、\\
\begin{equation}
\alpha=30
\beta=45
\end{equation}
以上より$\sin30^\circ+\sin45^\circ$となるので$\sin30^\circ=\frac{1}{2},\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$より以下の式が成り立つ
\begin{eqnarray}
(\sin\alpha+\sin\beta)&=&\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} \nonumber \\
(\sin\alpha+\sin\beta)&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \nonumber \\
\sin75^\circ&=&\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
\subsection{$\cos105^\circ$}
$\cos$関数の加法定理,
\begin{eqnarray}
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{eqnarray}
より、$105=45+60$なので,
\begin{eqnarray}
\cos105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ \\
\cos105^\circ=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\cos105^\circ=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}
\subsection{$\tan15^\circ$}
$\tan$の加法定理は
\begin{equation}
\tan(\alpha+\beta) =\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{equation}
より
$15=60-15$なので,
\begin{eqnarray}
\tan15^\circ=\frac{\tan60^\circ-\tan45^\circ}{1-\tan60^circ\tan45^\circ} \\
\tan15^\circ=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} \\
\tan15^\circ=2-\sqrt{2}
\end{eqnarray}
\section{角$\alpha$が第3象限の角で$\sin\alpha = \frac{1}{4}$の時,次の値を求めろ}
\subsection{$\cos\alpha,\tan\alpha$の値}
$sin\alpha=-\frac{1}{4}$のとき,三角比の相互関係より,
\begin{eqnarray}
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\beta=1 \\ \nonumber
\iff \cos^{2}\alpha=1-\sin\alpha \\ \nonumber
\iff \cos^{2}\aleph=1-(-\frac{1}{4})^{2} \\ \nonumber
\iff \cos^{2}\alpha=1-\frac{1}{16} \\ \nonumber
\iff \cos^{2}\alpha=\frac{15}{16} \\ \nonumber
\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}
\end{eqnarray}
また$\tan\alpha$は,
\begin{eqnarray}
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}
\end{eqnarray}
より
\begin{eqnarray}
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\
\tan\alpha=\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}} \\
\tan\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{8}
\end{eqnarray}
\subsection{$\sin2\alpha,\cos2\alpha,\cos\frac{1}{2}\alpha$の値}
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$より
\begin{eqnarray}
\sin2\alpha=2(-\frac{1}{4})\frac{\sqrt{15}}{4} \\ \nonumber
\sin2\alpha=-\frac{\sqrt{15}}{8}
\end{eqnarray}
三角比の相互関係$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$より,
\begin{eqnarray}
\cos2\alpha=(\frac{\sqrt{15}}{4})^{2}-(-\frac{1}{4})^{2} \\
\cos2\alpha=\frac{15}{16}-\frac{1}{16} \\
\cos2\alpha=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}
\end{eqnarray}
続いて三角比の相互関係$\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$より, \\
\begin{eqnarray}
\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{15}}{4}}{2} \\ \nonumber
\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{\frac{\sqrt{15}+4}{4}}{2} \\ \nonumber
\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{4+\sqrt{15}}{8} \\ \nonumber
\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{15}}{2}}{2}
\end{eqnarray}
\section{次の三角関数を合成せよ}
\subsection{ $\sin x+\sqrt{3}\cos x$}
$a$=1,$b=\sqrt{3}$なのでで$P(1,\sqrt{3})$とする,
\begin{eqnarray}
\sin x+\sqrt{3}\cos x&=&\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}*\sin(\theta+\frac{\pi}{3}) \\
\sin x+\sqrt{3}\cos x &=&2\sin(\theta+\frac{\pi}{3})
\end{eqnarray}
\section{次の対数計算をしろ}
\subsection{$\log_{10}150+2\log_{10}3-\log_{10}135$}
\begin{eqnarray}
&&\log_{10}150+2\log_{10}3-\log_{10}135 \\ \nonumber
\iff&=&\log_{10}150+\log_{10}9-\log_{10}135 \\ \nonumber
\iff&=&\log_ {10}\frac{150*9}{135}=\log_{10}\frac{1350}{135}=\log_{10}10
\end{eqnarray}
\subsection{$\log_{2}8-\log_{2}\frac{3}{4}+\log_{2}6$}
\begin{eqnarray}
\log_{2}\frac{8*6}{\frac{3}{4}}=\log_{2}\frac{48}{\frac{3}{4}}=\log_{2}64=
\log_{2}2^{2}=6\log_{2}2
\end{eqnarray}
\subsection{$\log_{4}8-2\log_{4}6+\log_{4}18$}
\begin{eqnarray}
&&\log_{4}8-2\log_{4}6+\log_{4}18 \\ \nonumber
&=&\log_{2}\frac{8*6}{\frac{3}{4}}=\log_{2}\frac{48}{\frac{3}{4}}=\log_{2}\frac{12}{3}=\log_{2}4
\end{eqnarray}
\section{次の二点間の距離を求めろ}
\subsection{A(2,4),B(1,6)}
二次元における二点間の距離、2点A(a, b), B(c,d)間の距離は$\sqrt{(c-a)^{2}+(d-b)^2}$で求められるので以下のようになる
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt{(1-2)^{2}+(4-6)^{2}} \\ \nonumber
&=&\sqrt{-1^{2}+(-2)^{2}} \\ \nonumber
&=&\sqrt{1+4}=\sqrt{5}
\end{eqnarray}
\subsection{A(2,1,3),B(4,5,-2)}
三次元空間における二点間距離、A(a,b,c),B(d,e,f)を求める時$\sqrt{(d-a)^{2}+(e-b)^{2}+(d-c)^{2}}$で求められる.
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt{(d-a)^{2}+(e-b)^{2}+(f-c)^{2}} \nonumber \\
&=&\sqrt{(4-2)^{2}+(1-5)^{2}+(-2--3)^{2}} \nonumber \\
&=&\sqrt{2^2+(-4)^{2}+(1)^2} \nonumber \\
&=&\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}
\end{eqnarray}
\section{$\vec{a} =(3,1)$,$\vec{b}=(-2,4)$のとき次のベクトル成分と大きさを求めよ}
\subsection{$2\vec{a}+\vec{b}$}
\begin{eqnarray}
=(6-2,2+4)=(4,6)
\end{eqnarray}
\subsection{$3\vec{a}-4\vec{b}$}
\begin{eqnarray}
=(9+4,3-16)=(13,-13)
\end{eqnarray}
\section{$\vec{a}=(2,1,3)$,$\vec{b}=(3,-2,1)$とする.以下の問いに答えよ}
\subsection{$2\vec{a}-3\vec{b}$のとき次のベクトル成分を求めよ}
\begin{eqnarray}
(4-9,2+6,6-3)=(-5,8,3)
\end{eqnarray}
\subsection{$|2\vec{a}-3\vec{b}|$を求めよ}
式(33)より$2\vec{a}-3\vec{b}=(4-9,2+6,6-3)=(-5,8,3) $なので,
\begin{eqnarray}
=\sqrt{-5^{2},+8^{2}+3^{2}} \\ \nonumber
=\sqrt{25+64+9} \\ \nonumber
=\sqrt{98}=7\sqrt{2}
\end{eqnarray}
\subsection{$\vec{a}*\vec{b}$を求めよ}
\begin{eqnarray}
=2*3+1*(-2)+3*1 \\ \nonumber
=6-2+3 \\ \nonumber
=7
\end{eqnarray}
\subsection{($\vec{a}+\vec{b}$)*($2\vec{a}-3\vec{b}$)を求めよ.}
\begin{eqnarray}
(5,-1,4)*(-5,8,3) \\ \nonumber
=-25-8+12=-21
\end{eqnarray}
\subsection{$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角を求めよ}
$|\sqrt{\vec{a}}|=\sqrt{2^{2}+1^{1}+3^{2}}=\sqrt{14},|\vec{b}|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$,と式より
\begin{eqnarray}
\cos\theta=\frac{\vec{a}・\vec{b}}{|\vec{a}|\vec{b}|} \\ \nonumber
\cos\theta=\frac{7}{\sqrt{14}^{2}}=\frac{7}{14} \\ \nonumber
\cos\theta=\frac{1}{2} \\
\theta=80^{\circ}
\end{eqnarray}
\section{2点をA(4,2,1),B(-1,2,3)とする}
\subsection{A,Bの距離を求めよ}
三次元座標の距離を求める公式$\sqrt{(B_{x}-A_{x})^{2}+(B_{y}-A_{y})^{2}+(B_{z}-A_{z})^2}$より
以下のようにする.
\begin{eqnarray}
S&=&\sqrt{(-1-4)^{2}+(2-2)^{2}+(3-1)^{2}} \nonumber \\
S&=&\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}+2^{2}} \nonumber \\
S&=&\sqrt{29}
\end{eqnarray}
\subsection{線分ABを(2:3)に内分する点の座標を求めよ}
内分の公式$x=\frac{na+mb}{m+n}$より 
\begin{eqnarray}
x&=&\frac{3(4,2,1)+2(-1,2,33)}{2+3} \\ \nonumber
&=&\frac{1}{5}(10,10,,9) \\ \nonumber
&=&(2,2,\frac{3}{5})
\end{eqnarray}
\section{次の行列の計算をせよ}
\begin{eqnarray}
A&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
1&0&2\\
2&-1&0\\
2&1&1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&2\\
0&2&0\\
0&1&2
\end{array}
\right)
-2\left(
\begin{array}{ccc}
2&1&0\\
-1&1&0\\
0&1&-1
\end{array}
\right) \\ \nonumber
A&=&\left(
\begin{array}{ccc}
1&3&6\\
2&4&4\\
2&3&6
\end{array}
\right)
-
\left(
\begin{array}{ccc}
4&-2&0\\
-2&-2&0\\
0&-2&2
\end{array}
\right)
\\
A&=&
\left(
\begin{array}{ccc}
-3&1&6\\
4&0&4\\
2&1&8
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}

\section{次の行列式の計算をしなさい}
\begin{eqnarray}
A=
\left|
\begin{array}{ccc}
1&0&2\\
-1&1&2\\
1&0&2
\end{array}
\right|
-1\left|
\begin{array}{cc}
1&2\\
1&-2
\end{array}
\right|
=-1|-2,-2|=-4
\end{eqnarray}
\section{次の問に答えなさい}
\subsection{直線$\frac{x-2}{3}$=$\frac{y+1}{2}$=$\frac{z}{-1}$に並行で$(-1,3,2)$を通る直線の式}
三次元空間の三次元の点$P_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$を通る直線の式は
\begin{equation}
\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}
\end{equation}
なのでこれに代入すると
\begin{eqnarray}
\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{2}{-2}
\end{eqnarray}

\subsection{直線$\frac{x-2}{3}$=$\frac{y+1}{2}$=$\frac{z}{-1}$に垂直で$(-1,3,2)$を通る平面の式}
\begin{eqnarray}
3(X+1)+2(y-3)-(z-2)=3x+2y-z-1
\end{eqnarray}
\section{直線$\frac{x-2}{3}=y+1=\frac{z+3}{-2}$と平面$2x-3y+z=2$との交点の座標を求めよ}
$\vec{n}=(2,-3,1)$,$X=0,y=4,z=-2$
\section{次の関数の極限値を求めよ}
\subsection{$\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-4x+3}$}
\begin{eqnarray}
A&=&\lim_{x \to 3}\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-4x+3} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-1)} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 3}\frac{x+1}{x-1} \\ \nonumber
&=&2
\end{eqnarray}

\subsection{$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+1})$}
\begin{eqnarray}
A&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+1}) \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{2(x+1)-(x+1)}{(x+2)(x+1)}) \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{2(x+1)-(x+1)}{(x+2)(x+1)}) \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}(\frac{2x+2-x-1}{(x+2)(x+1)}) \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\frac{x+1}{(x+2)(x+1)} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{(x+2)(x+1)} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}+3x+2} \\ \nonumber
&=&\frac{1}{0^{2}+3(0)+2} \\ \nonumber
&=&2
\end{eqnarray}
\subsection{$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}-2x-3}{x^{2}-4x+3}$}
\begin{eqnarray}
A&=&\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}-2x-3}{x^{2}-4x+3} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to \infty}\frac{4x-2}{2x-4} \\ \nonumber
&=&+\infty
\end{eqnarray}
\subsection{$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin5x}{x}$}
\begin{eqnarray}
A&=&\lim_{x \to 0}\frac{\sin5x}{x} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{(\sin5x)'}{x'} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}\frac{5\cos5x}{1} \\ \nonumber
&=&\lim_{x \to 0}5\cos5x \\ \nonumber
&=&5
\end{eqnarray}
\section{次の関数を微分せよ}
\subsection{$y=5x^{10}-2x-3$}
\begin{equation}
y'=50x^{9}-2
\end{equation}
\subsection{$S=5t^{3}-3t+2$}
\begin{equation}
S'=15t^{2}-3
\end{equation}
\subsection{$y=(3x-2)^{10}$}
\begin{eqnarray}
y'&=&((3x-2)^{10})' \\ \nonumber
&=&(t^{10})' \\ \nonumber
&=&10t^{9}*t' \\ \nonumber
&=&10(3x-2)*3=30(3x-2)
\end{eqnarray}
\subsection{$y=(2x^{4}+1)(4x-1)$}
積の微分公式より$y'=xy'+x'y$
\begin{eqnarray}
y'&=&(2x^{4}+1)(4x-1)' +(2x^{4}+1)'(4x-1) \\ \nonumber
&=&4(2x^{4}+1)+8x^{3}(4x-1) \\ \nonumber
&=&(8x^{4}+4)+(32x^{x}-8x^{3})
\end{eqnarray}
\end{document}

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